Home
Mystiek en wiskunde: Brouwer,
Gödel,
en
de "Gemeenschappelijke Kern"- Stelling (GKS)
Wij willen de uitgevers
bedanken voor de uitnodiging om aan deze uitgave bij te dragen. Bij
de ontwikkeling van de ideeën, die wij hier voorleggen, hebben
wij de vruchten geplukt van discussies met een aantal
personen. In het bijzonder zijn we dank verschuldigd aan John
en Cheryl Dawson, Mitsu Hadeishi, Piet Hut, William Kallfelz,
Juliette Kennedy, Rudy Rucker, Steven Tainer, en Olav
Wiegand.
Bovendien zijn wij de familie Dawson
erkentelijk voor het ons welwillend ter beschikking stellen van de
een catalogus van Gödels privé-bibliotheek, en de
familie Sonnenberg voor het ons verschaffen van uitmuntende
voorwaarden om samen te werken. Een onzer, van Atten, verrichtte
zijn werk onder een Postdoctoraal Fellowship van het Fonds voor
Wetenschappelijk Onderzoek-Vlaanderen (België), dat in dank
vermeld wordt.
Mark van Atten en Robert Tragesser
Thans gepubliceerd in W. Deppert and M.
Rahnfeld (red.), Klarheit in Religionsdingen Leipzig: Leipziger
Universitätsverlag 2003, pp.145160.
David Hilbert opende
‘Het Axiomatische Denken’ [15] met de opmerking dat
‘de belangrijkste dragers van het wiskundige denken,’
‘in het belang van de wiskunde zelf, altijd […] de
verbanden met het domein van de fysica en de [filosofische]
kennistheorie hebben gecultiveerd.’ Wij hebben in L.E.J
Brouwer en Kurt Gödel twee van die ‘zeer belangrijke
dragers van het wiskundige denken’, die de verbanden met de
filosofie in het belang van de wiskunde hebben gecultiveerd (zij
het niet alleen daarom). En in het cultiveren van de verbanden met
de mystiek in het belang van de wiskunde (zij het niet daarom
alleen), zijn beiden de filosofie voorbijgegaan.
Er bestaat een basisopvatting
van mystiek, die hier bijzonder relevant is. (‘Mystiek’
benoemt dat.) Die komt overeen met een basisopvatting van filosofie
(‘Filosofie’), die hier ook bijzonder relevant is.
Zowel de Mysticus als de Filosoof begint in een toestand van een
nogal onaangenaam, existentieel onbehagen, en streeft naar een
toestand van duurzaam welbehagen. Voor de Mysticus en de Filosoof
bestaat de weg naar dat welbehagen, door onderricht over het
werkelijke en ware goede van alle dingen. Om die reden zijn Mystiek
en Filosofie drievuldig optimistisch: er bestaat een werkelijk,
waarachtig goede van alle dingen, de Filosoof en de Mysticus kan
erover onderricht worden en, aldus onderricht, kan het hen
welbehagen schenken.
Er is een wezenlijk verschil
tussen de Mysticus en de Filosoof en waarschijnlijk is dat het
duidelijkst te illustreren aan de hand van de Plato’s
"Allegorie van de Grot". De aan de wand vastgeketenden, helaas in
deze wereld (behalve de kleine kinderen) vrijwel iedereen, zien en
ervaren de Werkelijkheid niet, maar zien slechts datgene wat zij
voor de werkelijkheid houden. Er zijn mensen, die op een gegeven
moment in hun leven die toestand zo ondraaglijk ervaren, dat ze
zich met pijn en moeite geleidelijk uit hun ketenen bevrijden en de
weg naar buiten gaan en daar zoals ze dat allemaal noemen, "het
Licht", de Werkelijkheid aanschouwen. Er zijn ook velen, die een
zogenaamde Mystieke Ervaring gehad hebben, onder invloed van drugs,
extreme uitputting, een BDE of zomaar opeens, als een donderslag
bij heldere hemel. Zij werpen als het ware, geketend en wel, een
blik naar het licht. Alan Watts beschrijft dat als volgt (uit: Does
it matter): "Veelvuldig heb ik een toestand gekend van wakend
dromen, sinds mijn jongensjaren, als ik geheel alleen was. Meestal
overkwam mij dit als ik twee- tot driemaal zachtjes bij mijzelf
mijn eigen naam herhaalde, tot opeens, als het ware buiten de
intensiteit om van het individualiteitsbesef, mijn individualiteit
zelf scheen op te lossen en te vervagen tot een grenzeloos zijn, -
geenszins een staat van verwarring, maar het helderste van het
helderste, het zekerste van het zekerste, het angstaanjagendste van
het angstaanjagendste, geheel en al boven woorden verheven, waar
dood een welhaast lachwekkende onmogelijkheid was, en het verlies
van de persoonlijkheid (als het dat geweest is) geen vernietiging
scheen, maar het enig ware leven." Het is alsof mensen, dwalend in
het labyrint, over de heg heen, af en toe een blik naar buiten
werpen, en vervolgens hun dwaaltocht voortzetten. Tussen ware en
gelegenheidsmystici bestaat een wezenlijk verschil, maar bestaan
ook overeenkomsten. Een van de overeenkomsten is, dat zij beiden
tevergeefs hun ervaren onder woorden proberen te brengen en dat is
iets wat ten enenmale onmogelijk is. Het is net zo onmogelijk als
iemand, die nog nooit een aardbei geproefd heeft, uit proberen te
leggen, hoe een aardbei smaakt, of iemand, die nog nooit zeeziek
geweest, uit te leggen hoe dat voelt. Woorden hebben dus slechts
betekenis voor mensen die dezelfde ervaring delen, en dan zijn ze
overbodig. Daarom schreef Wittgenstein (Tractatus
Logico-Philosophicus 7), dat je moet zwijgen waarover je niet kunt
spreken, en Lao Tzu (LVI), dat wie spreken niet weten, en wie weten
niet spreken. De Mysticus, die probeert zijn ervaring onder woorden
te brengen, is de in de grot teruggekeerde, die niet meer aan de
duisternis en de schijnwerkelijkheid kan wennen. De
gelegenheidsmysticus heeft slechts een moment de Werkelijkheid
aanschouwt, en weet zich vervolgens weer geketend aan de wand. De
Filosoof is en blijft een geketende, die vanaf zijn positie aan de
wand van de grot, hoogstens de structuur, kwaliteit en
onlosmakelijkheid van zijn ketenen kan beschrijven en daardoor
onherroepelijk tot de conclusie moet komen, dat hij nooit de
Werkelijkheid kan aanschouwen. Overigens betekent het woord
filosofie "de wijsheid liefhebben" en duidde oorspronkelijk op een
manier van leven. Wetenschapsfilosofie is derhalve een
onbestaanbare hybride, een contradictio in terminis, net als de
filosofie van de wiskunde, of cultuurfilosofie. Wat in deze wereld
filosofie genoemd wordt, is in wezen dus slechts sofisterij,
systeembouwen of nadenken over wat de systeembouwers nou eigenlijk
bedoeld hebben.
Die queeste naar Verlichting
vloeit voort uit een soort cognitief of verstandelijk bezig zijn
met wat wij hier ‘Het Goede’ zullen noemen.
De benaming "Het Goede" voor
"De Werkelijkheid", is onjuist, omdat "Het Goede" een aan "De
Werkelijkheid" toegekend attribuut is. Bovendien impliceert het het
bestaan van "Het Kwade" en beklemtoont dus een dualisme. In
"Jenseits von Gut und Böse" schrijft Nietzsche: "In het
‘op zichzelf’ bestaan geen ‘causale
verbanden’, ‘noodzakelijkheid’,
‘psychologische onvrijheid’, daar volgt niet
‘het gevolg op de oorzaak’, daar regeert geen
‘wet’. Wij zijn het en niemand anders die de
oorzaken, het na-elkaar, het voor-elkaar, de relativiteit, de
dwang, het getal, de wet, de vrijheid, de logische grond, het doel
verzonnen hebben." In wat is, bestaat dus geen goed of kwaad, boven
of beneden, binnen of buiten, winnaars noch verliezers, lichaam
noch geest, besef van tijd noch ruimte, zoals kleine kinderen dat
ook allemaal vreemd is.
De queeste naar Verlichting
heeft niets met het verstandelijk bezig zijn met "Het Goede" te
maken, maar "het Goede" kan alleen "ont"dekt worden door
alles waar het onder schuil gaat te verwijderen. Die queeste is kan
dus alleen tot een eind gebracht worden per viam negationis. De
ongerepte natuur, dus ook de ware menselijke natuur, kan alleen aan
het licht gebracht worden, door alle onnatuur, alle
cultuurartefacten, alle menselijke creaties, alles wat de natuur
oneigen is, te verwijderen, zoals je zandkastelen moet afbreken om
het ongerepte strand weer te zien of weer een tabula rasa kunt
verkrijgen door alles waarmee het beschreven is weer uit te wissen.
"De weg op en neer is één en dezelfde" zei Heraclites
(Fragm. 57).
Sommigen gebruiken ‘Het
Absolute’, wanneer het van belang lijkt te zijn te
benadrukken, dat ‘Het Goede’ onvoorwaardelijk
is—er is niets achter en niets boven. Anderen gebruiken
‘Het Ene’; weer anderen, ‘God’. Het is
menselijk om Het Goede als iets geest-achtigs, of als iets dat zich
(permanent) in de geest bevind, te beschouwen.
Maar het is onjuist, omdat
dat zij inhouden dat het bestaan van "De Werkelijkheid" zou
afhangen wat er in het brein van de mensen aanwezig is.
In beide gevallen moet het op
een of andere manier homogeen met, of in overeenstemming met onze
geest zijn, want Het Goede moet onze geest verlokken en een handje
helpen om zich ermee bezig te houden. Op die manier kan het ons
verlichten.
De Werkelijkheid (of "Het
Goede") kan niet het brein verlichten, integendeel zelfs. Het
denken, de geconditioneerdheid, verhindert juist het aanschouwen
van de Werkelijkheid, alles wat is. Het denken verduistert, maakt
blind en doof, want laat mensen zien wat ze denken dat ze zien en
horen wat ze denken dat ze horen. Kennis is onnatuurlijk, omdat
mensen zich dat eerst "eigen" moeten maken, daarmee een wereldbeeld
construeren en vervolgens met alles wat ze zich "eigen" hebben
gemaakt, gaan nadenken. In wezen is alle kennis dus plagiaat,
slechts voortborduren op gedachten van anderen.
Het onderscheid tussen
Filosofie en Mystiek is een gradueel verschil. Filosofie wordt
overheerst door het streven naar het tot uitdrukking brengen en
rationeel bewijzen van alle aanspraken en inzichten.
Mystiek wordt niet zo
overheerst. Maar desalniettemin, misschien
ergens op een punt dichtbij Het Goede, waar tot dan toe elke stap
rationeel bewezen is, zou de Filosoof toch de uiteindelijke en
meest sublieme verlichting kunnen bereiken, maar zou dan beseffen,
dat het zijn vermogen of belang te boven gaat om de inhoud daarvan
uit te drukken of rationeel te bewijzen.
De sofist (de nadenker) kan
nooit de Werkelijkheid aanschouwen, dus nooit de Verlichting
bereiken, omdat hij nadenkt, vanuit zijn geconstrueerd denksysteem
kijkt en zich dat niet realiseert. De Mysticus, die onbevangen
ziet, kan wel een beeld schetsen van alle obstakels, die het helder
zien verhinderen, de weg naar buiten wijzen, de ketens beschrijven
waarmee zijn medemensen geketend zijn, maar zoals Plato schrijft
(De Staat VII, 514-520): "En als iemand zou proberen hen te
bevrijden en naar boven te leiden, zouden zij hem dan niet doden
als zij hem in handen zouden krijgen?" Het
is de angst voor vrijheid, het opgeven van controle, het afbreken
van het zo moeizaam geconstrueerde wereldbeeld, de angst om los te
laten. Maar de belangrijkste reden waarom mensen zo gehecht zijn
aan hun gevangenis is, dat zou zouden moeten erkennen dat ze zich
hun hele leven lang vergist hebben, dat al hun geploeter slechts
ijdelheid is geweest en het najagen van wind. Hoe geleerder, hoe
dwazer.
Het zou zijn belang te boven
kunnen gaan, omdat het grootse inzicht zo stralend en scherp is, zo
onontkoombaar helder en zeker dat, wat voor rationeel bewijs dan
ook, op zijn best slechts iets betrekkelijk duisters en minder
meeslepends zou opleveren. Gödel heeft zo’n ervaring aan
verschillende filosofen toegeschreven:
Ikzelf heb zo’n
ervaring nooit gehad. Voor mij bestaat er geen absolute kennis:
alles gebeurt slechts naar waarschijnlijkheid. Zowel Descartes als
Schelling hebben nadrukkelijk gewag gemaakt van een ervaring van
plotselinge verlichting, waarbij zij alles in een ander licht
begonnen te zien [22, p.170]
De Mystieke Ervaring van
Descartes en Schelling, Rousseau, Alan Watts, Brouwer, de Baghwan,
en duizenden anderen, zijn het startpunt geweest van hun
"Filosofie", de gestrande pogingen om hun ervaring te beschrijven.
Zij hebben niet begrepen wat en waarom hen overkomen was, wat zij
ervaren hadden. Ze hebben allemaal gedacht dat zij iets nieuws
ontdekt hadden, terwijl ieder mens altijd geweten heeft, wat zij
duidelijk probeerden te maken en elk klein kind hen dat had kunnen
vertellen.
Als we een Filosoof
tegenkomen, die vanuit zo’n ervaring iets beweert, zonder dat
hij erin slaagt die bewering rationeel te staven, dan kunnen wij
wat hij ons gegeven heeft als Mystiek beschouwen. In het volgende
zullen we het beoefenen van Mystiek beschouwen, als een poging om
manieren te vinden om dit Goede onmiddellijk te ervaren. Het
beoefenen van de Filosofie is de poging Het Goede verstandelijk te
beschrijven.
De Filosoof en de Mysticus
hebben een volmaakt ander uitgangspunt. De Mysticus heeft de
Werkelijkheid aanschouwt en probeert zijn medemensen duidelijk te
maken, hoe zij dat ook zouden kunnen, door de weg erheen te
beschrijven, de Filosoof weet niet waar hij naar op zoek is, is een
zoeker, die niet weet wat de obstakels zijn, die niet beseft dat
hij in een labyrint zit, dat hij zelf geweven heeft en in stand
houdt. Hij probeert met zijn denken zijn denken uit te schakelen en
dat is een onmogelijke Münchhausentrick.
Overigens is het etiketteren
van iemand als Mysticus een doorgaans geslaagde poging van de
gevestigde orde om hem onschadelijk en ongevaarlijk te maken.
Bovendien is een depressieve, zieke of ongelukkige mysticus een
pseudo-mysticus (hemi-mysticus noemde Brouwer dat)
Hieronder zullen we
beschrijven hoe Brouwer en Gödel ieder, mystiek en wiskunde
met elkaar in verband brengen, en zullen we ze met elkaar
vergelijken. Op basis daarvan, zullen we vervolgens een
gedeeltelijk argument aandragen tegen wat bekend is als ‘de
gemeenschappelijke (of universele) kern-stelling’ (GKS). De
GKS wil zeggen, dat de verschillende vormen van Mystiek
uiteindelijk allemaal slechts verschillende manieren zijn om
dezelfde kern van waarheden uit te drukken. Voor ons lijkt het
alsof de "gemeenschappelijke kern"-stelling in twee hoofdstellingen
ontleedt kan worden:
(a) Mystiek beweert dat de
Werkelijkheid Goed is. Mystiek beoefenen beoogt dit Goede te
zien.
De Mysticus beweert niet dat
de Werkelijkheid Goed is, hij ervaart dat de Werkelijkheid
aanschouwen en ervaren, dus een leeg hoofd hebben, een
onverstoorbare gelukzaligheid inhoudt.
(b) Dit Goede is objectief,
d.w.z. hetzelfde voor alle soorten mystiek.
De ervaren van de
Werkelijkheid, Het Goede is voor elke Mysticus identiek. Het enige
probleem is dat zij allemaal een andere weg gevolgd hebben, vanuit
een ander vertrekpunt. Daardoor is hun terminologie anders, omdat
ze die ontlenen aan de cultuur, waar zij aan ontsnapt zijn. De
Werkelijkheid, alles wat is, is per definitie objectief, omdat die
belangeloos is en alle attributen die er aan toegekend worden,
zeggen uitsluitend iets over de attributen waarmee de
bevooroor-deelde toeschouwer zich heeft beladen.
Natuurlijk is (a) slechts een
minimale kenschetsing van mystiek. Het gaat aan de meeste aspecten
van mystiek (bijv. het gevoel van gelukzaligheid) voorbij, maar het
lijkt over het algemeen juist. Wij beschouwen het als empirisch
juist. De ‘Werkelijkheid’ met een hoofdletter
‘W’ heeft een andere betekenis, dan de
‘alomvattende werkelijkheid’. Het laatste is
ongetwijfeld eenheid, in de tautologische zin, dat er niets buiten
kan bestaan. Maar aan Het Goede, bekend uit mystieke tradities,
kleeft meer betekenis.
De Werkelijkheid is identiek
met de Allesomvattende Werkelijkheid. De "Werkelijkheid" Het Goede
noemen, is een attribuut toekennen, een kwaliteit van het ervaren
van de Werkelijkheid aan de Werkelijkheid. Datzelfde geldt voor
mooi, volmaakt, heerlijk, gelukzalig, vrij, die allemaal geen
kwaliteiten zijn van de Werkelijkheid, maar een onbeholpen poging
het ervaren van de Werkelijkheid uit te drukken.
Wat de GKS op het eerste
gezicht onwaarschijnlijk maakt is dat we onder de verschillende
mystieke tradities, en zelfs binnen elke traditie, zoveel verschil
van mening vinden over de expliciete leer en
methodologie.
De leerstelsels en methoden
om het Mystieke Ervaren te bereiken, is iets heel anders dan de
onbeholpen beschrijvingen van de Mystici van hun
Mystiek Ervaren. Als mensen uit het hele land de weg naar Amsterdam
beschrijven, beschrijven ze niet Amsterdam. Amsterdam is Amsterdam
en de GKS is de GKS. De kaart is niet het menu.
Het belang van de
"gemeenschappelijke kern"-stelling hangt echter af van het bestaan
van dergelijke meningsverschillen, want bij het ontbreken daarvan
zou die nagenoeg nietszeggend waar zijn.
Er bestaat een ietwat analoge
kwestie in de wetenschapsfilosofie: wetenschappelijke realisten
houden er, met betrekking tot wetenschappelijke theorieën door
de eeuwen heen, een "gemeenschappelijke kern"-stelling op na.
Een wetenschappelijke realist
is een contradictio in terminis. Een wetenschapper is een
theoreticus, die door zijn paradigma, zijn gekleurde bril heen de
Werkelijkheid, onherroepelijk vertekend ziet. Een evolutionist
bijvoorbeeld, filtert alles wat hij ziet door zijn evolutiebril,
een creationist door zijn Genesisbril. Zij zien de Werkelijkheid
niet, maar zien wat zij denken over de Werkelijkheid. Mensen die
een theorie aanhangen, hebben een gekleurde bril op en vertellen
per definitie onzin. Er is geen enkele reden om bijvoorbeeld
iemand, die in de evolutietheorie of vooruitgang gelooft, of dat je
van roken longkanker krijgt, serieus te nemen, maar met gelovigen
valt helaas niet te praten.
Deze theorieën vertonen
een enorm gebrek aan overeenstemming; toch is de realist de mening
toegedaan, dat zij allemaal aan dezelfde objectieve werkelijkheid
uitdrukking geven.
Realisten en Mystici beseffen
dat ze dezelfde ondeelbare Werkelijkheid zien, maar proberen niet
die, maar alleen hun ervaren van die Werkelijkheid uit te drukken,
en dat is onmogelijk.
Wij herinneren aan de
metafoor die Leibniz gebruikte: Dezelfde stad kan er heel
verschillend uitzien, afhankelijk van de richting van waaruit je
nadert.
Maar die stad blijft hoe dan
ook dezelfde stad. Iedereen kijkt inderdaad vanuit zijn "eigen"
standpunt en kan nooit het geheel overzien en alle beschrijvingen
die ze geven is, zijn derhalve gereduceerd. Er zijn theoretisch
oneindig veel standpunten mogelijk en een volledige beschrijving
zou dus oneindig veel woorden in oneindig veel boeken vergen. Jorge
Luis Borges geeft daar een prachtige metafoor van in zijn verhaal
"De bibliotheek van Babel", een eindeloze bibliotheek, "een bol,
waarvan het juiste middelpunt een willekeurige zeshoek is, en
waarvan de omtrek onbereikbaar is, die alle, mogelijke, boeken
bevat," terwijl de stad gewoon de stad blijft en de Werkelijkheid
de Werkelijkheid. Zo zijn er net zoveel standpunten en
wereldbeelden, als er mensen zijn en vanuit hún standpunt en
wereldbeeld hebben ze allemaal altijd gelijk, maar ze beseffen niet
dat hun standpunt en wereldbeeld een fictie zijn.
Vanzelfsprekend biedt, noch
de analogie met het wetenschappelijk realisme, noch de metafoor van
Leibniz steun aan de GKS. Zij suggereren alleen maar hoe de
stelling waar zou kunnen zijn ondanks het, op het eerste oog,
bewijs daartegen. De redenering, die wij willen voorstellen, heeft
tot doel de argumenten voor de GKS af te zwakken. Wij proberen
daarmee aan te tonen, dat de uitdrukkingen waarmee Gödel en
Brouwer naar Het Goede verwijzen, onmogelijk op hetzelfde kunnen
doelen (Gödel heeft het over ‘Het Absolute’,
Brouwer heeft er geen woord voor maar spreekt over een terugkeer
van het bewustzijn naar ‘zijn diepste
thuis’).
Gödel heeft het
inderdaad slechts over het, voor hem onbereikbare, verdwijnpunt,
Brouwer heeft het expliciet over de terugkeer, omdat hij ervaren
heeft dat het mogelijk is.
Dit laat de mogelijkheid
open, dat ten minste een van beiden, er zelfs helemaal niet naar
verwijst. Het zou kunnen dat Het Goede, zoals het door Brouwer
opgevat wordt, niet bestaat, en het zou kunnen dat Het Goede, zoals
het door Gödel opgevat wordt, niet bestaat. Je kunt wel willen
verwijzen naar iets wat niet bestaat, maar dat kun je niet
waarmaken. Derhalve is een betoog, vanaf de aanname dat ten minste
een van beiden niet bestaat, naar de conclusie dat Gödel en
Brouwer niet naar hetzelfde kunnen verwijzen,
nietszeggend.
Gödel komt door een
uiterst consequent redeneren tot de conclusie, dat er een magische
grens bestaat, waarachter hij "Het Goede" vermoedt, maar wat hij
nooit zal kunnen bereiken, omdat het op het laatst een magische
sprong vereist, die een mens denkend nooit kan maken. Het is alsof
je een zoutoplossing eindeloos verdunt. Nooit zul je op die manier
volmaakt zuiver water krijgen. Zolang er nog één
molecuul NaCl in zit is het water niet zuiver. Een geconditioneerde
mens kan deconditioneren, maar nooit uit zichzelf het verdwijnpunt
bereiken. "De sprong naar het zelfzijn en naar de vrijheid kan zich
realiseren vanuit een bijzondere ervaring. Die ontstaat juist in
het aangezicht van de vertwijfeling en vanuit het besef der
onmogelijkheid: het is de ervaring van het geschonken worden",
schrijft Karl Jaspers. "Het nihilisme is een onvermijdelijkheid
voor de oprechte mens", en daarin ontmoet hij Brouwer.
Wat er resteert, is aan te
nemen, dat beiden bestaan en te zien of je ook dan de conclusie
kunt trekken, dat zij inderdaad niet hetzelfde kunnen zijn.
Daartoe zullen we het laatste geval
onder ogen nemen.
1 Brouwer’s
Mystiek
Brouwer dacht (had ervaren!) dat er een "diepste thuis’ van
het bewustzijn was [5]. In het diepste thuis, schommelt ons ervaren
tussen stilte en gewaarworden.
In ons diepste thuis, onze
ware thuis, is de menselijke tweespalt opgeheven, de binnenkant is
als de buitenkant, er zijn geen gedachten meer, geen onrust of
spanning, er is een volmaakte tevredenheid, en de weer mensgeworden
mens voelt zich niet meer tegenover al "wat is" staan, maar voelt
zich daar één mee. Hij voelt ‘zijn
lichaam’ niet meer, heeft geen emoties, maar ervaart slechts
een gelukzaligheid. Hij is onverstoorbaar. Dat is wat de
Stoïcijnen onder de apatheia verstaan en waar alle religies
hun equivalenten voor hebben.
Daar bestaat geen onderscheid
tussen subject en object. Deze toestand identificeert Brouwer met
wijsheid. (vergelijk [3,
p.108] en [5, p.1240]). Ons besef van
dingen en andere mensen ontspringt in verscheidene stadia, op wat
hij een ‘uittocht’ van bewustzijn uit het diepste thuis
noemt.
Omdat hij geen kennis meer
heeft, beseft dat hij niets kan weten, omdat hij begrepen heeft dat
alles wat hij geleerd had, alleen maar onbeholpen verduisterende
hersenspinsels zijn, is hij wijs. Er zijn
voor hem ook geen objecten meer, geen veelheid van dingen, maar een
ervaren dat alles "wat is" in één immense
verbondenheid, bezield wordt door: en daar schieten woorden te
kort.
De eerste stap van die
uittocht is het resultaat van een optreden van de vrije wil, dat
een besef van tijd introduceert.
De vrije wil is ook
zo’n bizar hersenspinsel, een hardnekkige illusie. In
"Gödel, Escher, Bach" schrijft Hofstadter: ‘Pas als een
mens zichzelf ontworpen heeft en zijn eigen verlangens kiest
(alsmede de keuze zijn eigen verlangens te kiezen enzovoort), mag
men beweren dat hij zelf een wil heeft en keuzes kan maken.’
Mensen zijn slaaf van hun begeerten, hun angsten, hun libido, van
hun zelfgeconstrueerde wereldbeeld, dat hun laat doen wat ze doen.
Mensen zitten gevangen in een netwerk van elkaar beïnvloedende
personen, die allemaal streven naar handhaving van de status quo.
‘Elk gezin is,’ zoals Samuel Johnson schreef,
‘een klein koninkrijk, verscheurd door partijtwisten en
revoluties.’
In feite is het tijdsbesef
een eerste vereiste voor het je bewust zijn van dingen en mensen
(incluis jezelf, als een belichaamd persoon) en al het andere in de
buitenwereld.
Geen enkel klein kind
onderscheidt dingen of mensen en het ervaart geen tijd, omdat het
geen verleden en geen toekomst kent. Het zijn allemaal kleine
mystici, die slechts zijn en woordeloos ervaren. Dat is dus wat wij
kinderlijk eenvoudig noemen. Maar kinderen moeten zich aanpassen
aan grote mensen, die hun heden, door hun verleden en hun
verwachtingen en angsten voor de toekomst, laten bepalen. Zij zijn
het, die de kinderen uit hun paradijselijke staat halen, uit hun
eeuwig leven in het nu en als je eenmaal begint is het eind zoek.
Brouwer noemt dat kinderlijk en dus mystiek ervaren: ‘de
oorspronkelijke chaotische toestand, waarin het bewustzijn langzaam
willoos en omkeerbaar heen en weer zweeft tussen volledige stilte
en gewaarwording’ en die vergissing maakt hij omdat hij
kleine kinderen, voor wie de Werkelijkheid allesbehalve een chaos
is, volledig buiten beschouwing laat. De chaotische toestand is de
toestand van de volwassenen.
Het is het besef van tijd,
dat een afstand introduceert tussen het ervarende ‘Ik’
en wat ervaren wordt. Het laatste gaat als een herinnering over in
het verleden, terwijl het eerste in het stromende ‘nu’
blijft. Dit is het ontstaan van de doelgerichtheid (een woord dat
Brouwer niet gebruikt). Brouwer noemt bewustzijn, in zoverre het
doelgerichtheid vertoont, ‘geest’ (wij zullen, na de
discussie over dit bepaalde aspect van Brouwer’s filosofie,
dit woord niet in zijn technische zin gebruiken). Eenmaal op zijn
plaats, ontwikkelt de geest zich verder, waarbij het bewustzijn
zich overgeeft aan de neiging gewaarwordingen in complexen te
arrangeren, met name in ‘causale ketens’ en
‘dingen’; waarbij de eersten een middel zijn, om de wil
in staat te stellen, de laatsten te beheersen. Wat voor greep al
die geest-specificerende inhouden op het afzonderlijke zelf ook
mogen hebben, het is een zichzelf in stand houdende greep; het zelf
zou zich, in principe en in de praktijk, uit die greep kunnen
bevrijden, door alle relevante gewaarwordingscomplexen op te geven,
want van die complexen is gebruik gemaakt, op basis van een
absoluut vrije wil, die intrinsiek aan het bewustzijn is.
Iedereen kan de innerlijke
ervaring hebben, dat hij zich willekeurig naar een toestand zonder
besef van tijd kan dromen en zonder de scheiding tussen het
‘Ik’ en de wereld van gewaarwordingen, of dat hij die
laatste scheiding door eigen inspanning teweeg kan brengen
[4, p. 154] [onze vertaling]
Dat is onjuist. Die toestand
kun je niet oproepen door het te willen, maar dat overkomt mensen.
Mediteren is een volstrekt ontoereikende methode om dat te
bewerkstelligen en mocht het ooit even lukken, dan komen de
gedachten onweerstaanbaar weer terug en vervolgens gaan mensen
gewoon weer over tot de orde van de dag.
Ook de wiskunde, zegt
Brouwer, is opgebouwd uit ons ervaren van de tijd, net als bij
Kant—vandaar de naam ‘intuitionisme’ voor
Brouwer’s filosofie van de wiskunde, die naar de zuivere
intuitie van de tijd verwijst.
Eigenlijk betekent intuitie
"door onmiddellijke innerlijke aanschouwing verkregen begrip"(van
Dale), dus zonder nadenken en zonder gehinderd te worden door
vooroordelen. Wiskunde maakt gebruik van gedachten en daarom kan
intuitionisme nooit in verband gebracht worden met wiskunde.
Wiskunde verhindert intuitie en dat heeft Brouwer juist begrepen.
Maar Brouwer heeft dus duidelijk de kool en de geit willen sparen,
gezwicht voor de wereld (er moest immers brood op de plank komen).
Het is niet en/en, maar of/of.
De afzonderlijke (de
natuurlijke getallen) komen voort uit ons gewaarworden van
opeenvolgende "nu’s", de ononderbroken (d.w.z. de rechte
lijn) uit ons gewaarworden dat tijd een stroom is en dat er daarom
iets "tussen" de afzonderlijke "nu’s" bestaat. In, wat
Brouwer het ontvouwen van deze grond-intuitie noemt, wordt alle
wiskunde tot leven geroepen. In deze beschrijving is de wiskunde
een schepping van de individuele geest. Het beschrijft geen
onafhankelijke werkelijkheid. Het ontstaat in een wilshandeling.
Anderzijds worden, bij het formaliseren van de wiskunde, alle
mogelijke wilselementen zorgvuldig uitgesloten. Dat is de reden
waarom Brouwer het formaliseren van de intuistische logica (zoals
zijn leerling Heyting dat wel gedaan heeft) en het opstellen van
een formele theorie over de rol van het subject in de wiskunde,
vermeden heeft. Wat het laatste streven betreft, heeft Stanley
Rosen terecht opgemerkt dat
Analytische filosofie [. .
. ] objectiveert het subject, of ziet de aanwezigheid van het
subject in de structuur van de hoofdstelling over het hoofd. [. . .
] Deze tendens wordt geïllustreerd in de poging van Kreisel en
anderen om Brouwer’s idee van het scheppende subject, dat het
vermogen van de wiskunde tot uitdrukking brengt, te verwiskundigen,
een vermogen dat zelf niet in wiskundige termen uitgedrukt kan
worden. [17, p.186]
Als je er naar kijkt vanuit
het filosofische en niet slechts vanuit een technisch oogpunt, is
volgens Brouwer, het je met wiskunde bezighouden, een van de eerste
dingen, die het bewustzijn het diepste thuis uitleiden.
Dat is niet juist. Op het
moment dat een klein kind een jaar is, is het leed al lang
geschied. Dan leeft het, door beloning en straf, al in de
tijd, in rituelen, in patronen, in het ritme van de opvoeders.
Zoals Ronald Laing (in: The Politics of Experience, 1967) dat zo
treffend schreef: "Al lang voordat het tot een kernoorlog kan
komen, hebben we onze geestelijke gezondheid al dienen te
ruïneren. We beginnen met de kinderen. Het is geboden ze op
tijd te pakken te krijgen. Zonder uiterst grondige en snelle
hersenspoeling zouden met hun smerige breintjes onze smerige
streken doorzien. Kinderen zijn nog geen dwazen, maar we zullen er
net zo'n imbecielen van maken als wij zijn, indien mogelijk met een
hoog IQ.
Vanaf het ogenblik van de
geboorte, waarop de stenentijdperk-baby zich oog in oog met de
twintigste-eeuwse moeder bevindt, is de baby onderworpen aan de
krachten van het geweld dat men liefde noemt, zoals dat met zijn
vader en moeder het geval is geweest en daarvoor met hún
ouders. Het gaat deze krachten er voornamelijk om baby's
mogelijkheden grotendeels uit te roeien. Deze onderneming slaagt
over het algemeen zeer wel. Tegen de tijd dat het nieuwe mensje
vijftien is, zitten we met een wezentje dat net zo is als wij zijn.
Een half waanzinnig schepsel, min of meer aangepast aan een
krankzinnige wereld. Dat is normaliteit in de tijd waarin wij nu
leven.
Eigenlijk zijn liefde en
geweld polaire tegenstellingen. De liefde laat de ander in zijn
bestaan, maar met genegenheid en zorg. Geweld probeert andermans
vrijheid in te perken, hem te dwingen om net zo te handelen als wij
willen, maar uiteindelijk zonder zich om de ander te bekommeren,
zonder acht te slaan op de eigen lotsbestemming van de
ander.
Wij richten elkaar heel
effectief te gronde door geweld dat door moet gaan voor
liefde."
Het bewustzijn bouwt zijn
wereld op door een ‘exodus vanuit het diepste thuis’ in
gang te zetten. We hebben gezien, dat hij deze bouwprocessen op
reeksen van gewaarwordingen ziet werken, en dat is waar de wiskunde
zijn intrede doet. Dat gebeurt niet alleen bij het verrichten van
technische arbeid, maar alleen al bij het construeren van 1 en 2
zit je, volgens Brouwer, op het verkeerde spoor! In zijn
aantekenboekjes, waarin hij zijn dissertatie van 1907 uitbroedde,
staan allerlei verrassende opmerkingen, over hoe destructief dat
hij denkt, dat de wiskunde is. Men vindt daar bijvoorbeeld
juweeltjes als ‘Je zou de afschaffing en verlossing van alle
wiskunde als je levensdoel kunnen beschouwen.’ [8, p. 83]. En
hij meende het: gedurende zijn hele loopbaan maakt Brouwer in zijn
geschriften opmerkingen over hoe de wiskunde (en de daarop
gebaseerde natuurwetenschappen) grote ellende in ons leven brengt
en ons ervan weerhoudt weer wijs te worden (door terug te keren
naar ons diepste thuis). Zonder besef van tijd kan er geen wiskunde
bestaan.
En dus ook geen
wetenschapper, dominee, politicus, bouwvakker, homofiel, moslim,
voetballer, patiënt, dichter, mysticus, duivenmelker,
Nederlander, banketbakker, militair, moslim, of welke toneelspeler
dan ook. Kunstjes aanleren, vergt namelijk tijd. Mensen kunnen
alleen maar mens zijn, zoals alle kleine kinderen dat zijn.
Als je slechts één radertje uit de
hele machinerie haalt, staat heel het raderwerk stil.
Maar vrij van de wiskunde
zijn, is juist waar we, in onze jacht naar het diepste thuis, naar
zouden moeten streven. En er is zelfs een mogelijkheid de taal te
gebruiken om mystieke ervaringen aan te duiden; maar niet in de
vorm van analytisch (d.w.z. wiskundig gestructureerd)
proza:
Misschien is de grootste
verdienste van de mystiek, dat zij een taal, onafhankelijk van de
wiskundige systemen van menselijke intrige, gebruikte en ook
onafhankelijk van de rechtstreekse dierlijke emoties van angst en
verlangen.
Mystiek heeft geen enkele
verdienste, maar is juist alleen maar rampzalig, wollig, en
volkomen vrijblijvend geleuter. Net zomin als de achtergeblevene
iets heeft aan de ontboezemingen van iemand die de top van de Mount
Everest bereikt heeft, heeft een geketende iets aan het gestamel
van de mysticus, die zich uit de ketenen heeft bevrijd en het licht
aanschouwt heeft.
Angst en begeerte zijn geen
dierlijke emoties, maar resultaten van het leven in de tijd en dus
van het verlaten van het rechte en eenvoudige pad.
Als zij zichzelf op
zo’n manier uitdrukt, dat deze twee uitingen onopgemerkt
blijven, dan zouden de contemplatieve gedachten—waarvan de
wiskundige inperking het enige levenselement in het wiskundige
systeem lijkt—zich misschien weer zonder onduidelijkheid
kunnen manifesteren, aangezien er geen wiskundig systeem is dat ze
vertekent. [Door ons gewijzigde vertaling van van Stigt [19, p.
409]; oorspronkelijk accent]
De mystieke schrijver zal
zelfs alles, wat naar wiskunde of logica riekt, zorgvuldig
vermijden: zwakke geesten zouden er anders gemakkelijk toe gebracht
kunnen worden wiskundig te geloven en te handelen buiten het domein
waar dit, of door de gemeenschap of door hun eigen strijd voor het
bestaan, vereist is en in allerlei soorten dwaasheid kunnen
eindigen. [19, pp. 409–410]
Nergens heeft mystiek een
draad of passende volgorde; elke sententie staat op zich zelf, en
behoeft geen andere om vooraf te gaan of te volgen [1, p.
76]
Als voorbeeld van zo’n
taal citeert Brouwer, in 1905, uit Meester Eckehart en Jacob
Böhme [1]; en in 1948, uit de Bhagavad Ghita [5]. Het verstand
heeft daar niets mee van uitstaande. Toegang tot Het Goede is
slechts mogelijk als het verstand is uitgeschakeld.
Brouwer heeft een
merkwaardige voorkeur voor het gekweel van geflipte mystici, die
uiterst onbeholpen "het onzegbare" in woorden uit proberen te
drukken. En waar mystici duidelijk en direct zijn, desavoueert hij
ze, omdat zij in zijn ogen verlagen wat verheven zou moeten
klinken. Voor hem is mystiek iets voor intellectuelen, voor
geletterden, terwijl hij aan de andere kant, terecht, beweert, dat
het intellect het grote obstakel en boosdoener is. Hij is daar
uitermate tegenstrijdig in.
In een recensie (1915) van
een boek met de titel ‘Geometrie en Mystiek’, schreef
Brouwer:
Aangezien het maken en
waarnemen van wiskundige vormen in de Anschauungswereld, een
voorbereiding voor en een gevolg is, van het verstandelijke
zelfbehoud van de mens, en aangezien theoretische wiskunde slechts
gedefinieerd kan worden als de activiteit van het afgezonderde
verstand, en aangezien bovendien het mystieke zien pas begint,
nadat het verstand in slaap gevallen is, kan noch praktische noch
theoretische meetkunde iets met mystiek van doen hebben. [8, p.
287] [oorspronkelijke accenten]
Wij merken op dat mystieke
praktijk voor Brouwer een ernstige en eenzame zaak was.
Dat is dan ook een vergissing
van hem, dezelfde vergissing die pilaarheiligen en kluizenaars
gemaakt hebben. Zoals de door Brouwer geciteerde Flaubert
in le Gymnosophiste Hilarion tegen Antonius laat
zeggen: "Huichelaar! Je trekt je terug in de eenzaamheid om je
lusten beter te kunnen botvieren! Je onthoudt je van vlees, wijn,
zweetbaden, slaven en eerbetoon; maar wat laat je je door je
verbeelding onthalen op banketten, geurwerken, naakte vrouwen en
juichende menigten! Je kuisheid is niets dan geraffineerde
zedeloosheid, je verachting voor de wereld: een op haar gestrande
haat. Dát is wat jou en je soortgenoten zo somber maakt, of
misschien ook omdat jullie aan jezelf twijfelen. Het bezit van de
waarheid leidt tot vreugde." Die andere Mysticus zei tenminste:
"Wees in de wereld, maar niet van de wereld." Het is zijn fictie
van de vrije wil, die Brouwer het idee gegeven heeft dat hij uit
eigen kracht, keuze en vrije wil, tot zijn inzicht gekomen was,
terwijl hij alleen maar ontdekt had, wat ieder klein kind weet.
Daarom mist hij ook elk mededogen met zijn medemensen. Dat is ook
het wezenlijke verschil tussen Brouwer en zijn alter ego Carl Adama
van Scheltema en bijvoorbeeld Gerrit Mannoury.
Bij een bezoek aan
Krishnamurti, zei Brouwer tegen een vriend: ‘Goeie genade,
dit is de babykamer van de filosofie’. [9, p. 324] [onze
vert.]
Voor Brouwer speelt, in het
spirituele leven, het verstand een negatieve rol. Wiskunde is een
nood-zakelijke stap, weg van het begrijpen van de mystieke
waarheid, naar het begrijpen van de buitenwereld, het eigen lichaam
en de medemensen.
Er is geen spiritueel leven,
er is slechts leven of geleefd worden, ervaren van eenheid of
ervaren van gescheidenheid, vrijheid of gebondenheid. Net zomin
bestaat er een mystieke waarheid. Iets is waar of onwaar, maar
nooit mystiek waar. En wiskunde is al helemaal niet in staat om de
buitenwereld te begrijpen, laat staan het eigen lichaam of je
medemensen. Er is een wezenlijk verschil tussen begrijpen en
verklaren. Verklaren doe je met behulp van theorieën, zelf
gecreëerde denksystemen, waar Heraclites al van zei dat
"menselijke opvattingen bouwsels zijn zoals kinderen die maken om
mee te spelen.(fragm. 8)" Begrijpen kun je alleen met gezond
verstand. Wie zichzelf niet begrijpt kan ook anderen niet
begrijpen, want hij ziet dan de splinter in het oog van de ander,
terwijl hij de balk in zijn eigen oog vergeet.
2 Gödel’s
Mystiek
Rudy Rucker heeft verslag
gedaan van zijn gesprekken met Gödel over mystiek [18,
pp.182–183]. Gödel’s filosofie van de wiskunde
wordt platonisme genoemd. De filosofie van
wiskunde bestaat dus niet. Hij was
de mening toegedaan, dat wiskundige objecten een deel van de
objectieve werkelijkheid vormen, en dat het de taak van de
wiskundige is, die objecten waar te nemen en te beschrijven.
Gödel heeft ooit een aantal zeer korte opmerkingen
gepubliceerd over hoe wij abstracte wiskundige objecten waarnemen
op een manier, die analoog is aan onze waarneming van concrete
objecten [12].
Wie objecten ziet, ervaart de
versplinterde eenheid. Hij staat niet in de Werkelijkheid, maar
tegenover de Werkelijkheid. Hij "heeft" een hand, een galblaas, een
maag, en zoals hij zichzelf verdeeld heeft, heeft hij de
buitenwereld verdeeld, door kunstmatige grenzen. In de eenheid
hangt alles met alles samen.
Rucker, die verduidelijking
van deze opmerkingen wilde, vroeg Gödel ‘hoe je het best
de zuivere abstracte mogelijkheid kunt waarnemen’. Gödel
zegt, dat je eerst je andere zintuigen af moet sluiten, door
bijvoorbeeld op een rustige plek te gaan liggen en ten tweede, dat
je actief moet zoeken. Uiteindelijk,
Het ultieme doel van
zo’n denken, en van alle filosofie, is het waarnemen van Het
Absolute […] Toen Plato in staat was Het Goede volkomen te
aanschouwen, eindigde zijn filosofie. (In het origineel staat
abusievelijk ‘Plautus’ in plaats van
‘Plato’, maar Rucker bevestigde ons dat dit een
drukfout is.)
Derhalve is, volgens
Gödel, wiskunde bedrijven een manier om in contact met Het
Absolute te komen.
Wiskunde bedrijven is een
zekere manier om nooit op te gaan in "Het Absolute" en Brouwer
heeft dat begrepen. De Theory
of Everything is een onbereikbare utopie.
Niet zozeer het bestuderen
van de wiskunde op zich, maar het bestuderen ervan met een bepaalde
geestesgesteldheid. Dan is er geen scheiding tussen wiskundige en
mystieke praktijk.
Er is dus voor de wiskunde
een onneembare barrière naar het mystieke ervaren. Of zoals
Kahlil Gibran dat poëtisch uitdrukte: "De karavaan van het
denken, bereikt nooit het hart."
Het ene is onderdeel van het
andere en Het Goede van de wiskunde is onderdeel van Het Goede.
Gödel heeft ook over zijn belangstelling in het aanschouwen
van Het Absolute gesproken met zijn Eckermann (medewerker en vriend
van Goethe, schreef: Gespräche mit Goethe in den letzten
Jahren seines Lebens), Hao Wang. Wang deelt mee:
Een van Gödel’s
terugkerende thema’s was het belang van het ervaren van een
plotselinge verlichting—als een religieuze bekering—in
de filosofie. (Dit thema doet me, tussen twee haakjes, denken aan
een van de onderrichtingen van Hui Neng’s ‘sudden
school’ van het Zen (Chan) Boeddhisme in China.) Met name
geloofde Gödel, dat Husserl zo’n ervaring gehad had,
ergens gedurende de overgang van zijn vroegere naar zijn latere
filosofie.’ [22, pp. 169–170]
In de late vijftiger jaren
begon Gödel een interesse te ontwikkelen voor de fenomenologie
van Edmund Husserl. Naast een specifieke toepassing van de
fenomenologie op de grondslagen van de wiskunde, had Gödel een
bredere belangstelling. Dit is ook weer aan Het Absolute
gerelateerd. Tegen Wang zei
hij:
Ergens tussen 1906 en 1910
maakte Husserl een psychologische crisis door. Hij betwijfelde of
hij ook maar iets gepresteerd had en zijn vrouw was ernstig ziek.
Ergens in die periode werd voor Husserl opeens alles duidelijk en
hij bereikte zoiets als een absolute kennis. Men kan echter
absolute kennis niet aan iemand anders overdragen; daarom kan men
het niet kenbaar maken. Uit die periode, toen Husserl’s
ervaring van het zien van de absolute kennis plaats vond, stamt ook
een lezing over de aard van de tijd. Zelf heb ik nooit zo’n
ervaring gehad. Voor mij bestaat er geen absolute kennis: alles
gebeurt slechts naar waarschijnlijkheid. Zowel Descartes als
Schelling hebben nadrukkelijk gewag gemaakt van een ervaring van
plotselinge verlichting, waardoor zij alles in een ander licht
gingen zien. [22, pp.
169–170]
en, zoals we
hierboven gezien hebben,
Later was Husserl meer net
als Plato en Descartes. Het is mogelijk om een zodanige
gemoedstoestand te bereiken, dat je de wereld anders ziet. Een
fundamenteel idee is het volgende: de ware filosofie is (wordt
bereikt door) zoiets als een religieuze bekering. [22, p.
293]
Elk nieuw verworven en
"eigen"gemaakt denkbeeld, laat de mens de wereld anders zien. Maar
daar gaat het niet om. Het gaat erom jezelf en de wereld onbevangen
en onbevooroordeeld te aanschouwen, je gekleurde bril af te zetten
en niet te vervangen door een andere kleur glazen. Het ultieme
paradigma is géén paradigma, gewoon de gekleurde bril
afzetten.
Het is waarschijnlijk, dat
Gödel gepoogd heeft zo’n verlichting of bekering te
ervaren. In dit verband merken we op, dat Gödel’s
persoonlijke bibliotheek, behalve boeken over Christendom en Islam,
inleidingen in het Boeddhisme, uitgaven van de Wachttoren, werken
over theosofie en een aantal over spiritisme, ook
bevatte
Wallace, R.K.
(1973) The physiological effects of transcendental meditation, 3rd
ed., MIU Press.
Op de vraag van Rudy Rucker
aan Gödel of hij geloofde, dat er één enkele
Geest achter alle verschillende verschijningen en bezigheden van de
wereld steekt [18, 183], beaamde Gödel dat: ‘ja, de
geest is het ding dat gestructureerd is, maar de Geest bestaat
onafhankelijk van zijn individuele eigenschappen.’
Als de Geest onafhankelijk
is, is het niet zinnig te zeggen dat die geest ook nog individuele
eigenschappen heeft. Bovendien is het benoemen van de Geest als een
ding dat gestructureerd is, een merkwaardige
constructie.
Toen Rucker Gödel verder
vroeg of hij geloofde, dat de Geest, in plaats van dat die in de
breinen van de mensen gelokaliseerd is, overal aanwezig is, beaamde
Gödel dat opnieuw en zei: ‘Natuurlijk.
Dat is de fundamentele leer van de
mystiek.’
Gödel was ervan
overtuigd dat ‘de wereld rationeel is’, en dat die
rationaliteit door de geest bevat kan worden: ‘Er bestaat een
wetenschappelijke (exacte) filosofie en theologie, die betrekking
heeft op begrippen van het hoogste abstractieniveau; en dat is ook
voor de wetenschap uiterst vruchtbaar’ [22, p. 316]. Dus voor
Gödel moet het verstand een positieve rol in het spirituele
leven spelen.
Brouwer had begrepen dat dat
onzin is.
3 Vergelijking tussen
Brouwer en Gödel: de wiskunde en Het Goede
We hebben gezien, dat zowel
Gödel als Brouwer op zoek waren naar mystieke ervaringen,
waarin het gaat om een openstaan van de geest voor Het
Absolute.
Brouwer zocht niet naar het
Mystieke Ervaren. Hij had dat al ervaren, maar kon het niet meer
terugvinden. Wat in dergelijke ervaringen
onthuld wordt, zweemt ernaar, dat er iets aan de persoon wordt
geschonken. Het geschonken worden wordt voorafgegaan door een
voorbereiding of transformatie van die persoon. Het zelf moet in
een toestand worden gebracht, om wat er geopenbaard wordt te
ontvangen, te bevestigen en naar waarde te schatten. Over die
voorbereiding heeft zowel Brouwer (het verzaken van de wiskunde)
als Gödel het (het afsluiten van de zintuigen, etc)
Wat onthuld moet worden (wat
je het gezond verstand zou kunnen noemen), is overwoekerd door het
intellect, kennis, theorieën, meningen en constructies, en die
korst moet eerst afgebroken worden, voordat je het kunt gebruiken.
Je kunt alleen zelf kijken en luisteren, als je niet meer gehinderd
wordt door het aanmatigende brein, dat denkt dat het alles beter
weet.
Zij hebben echter zeer
verschillende dingen beweerd over hoe het geopenbaarde op de
wiskunde betrekking heeft. Wat ons opvalt is, hoe de band tussen de
wiskunde en de mystiek bij Gödel en Brouwer even hecht is,
maar dat, zogezegd, de symptomen verschillend zijn. Volgens beiden
verbindt de wiskunde het individuele denken met de ultieme
werkelijkheid, maar Gödel denkt aan een positief en Brouwer
aan een negatief verband. Voor Gödel is wiskunde bedrijven een
manier om zich toegang tot Het Absolute te verschaffen. Voor
Brouwer verhindert bezig zijn met wiskunde juist de toegang tot Het
Absolute.
En zo is dat. Maar niet
alleen het bezig zijn met wiskunde, maar ook met het verleden en
met de toekomst, waar al het menselijk geploeter uit voortvloeit,
inclusief de wiskunde.
Anders gesteld: volgens
Gödel onthult de wiskundige ervaring (een deel van) de
Werkelijkheid; volgens Brouwer verbergt de wiskundige ervaring de
Werkelijkheid.
Een mystieke openbaring en
betekenis ervan, heeft het fenomenologische kenmerk over zich, van
dat het een vorm van kennen of verlicht begrijpen is; het openbaart
Het Goede, de kostbare en de belangrijke en fundamentele waarden.
Daarom zullen we proberen het verschil tussen Brouwer en Gödel
te formuleren in termen van Het Goede. Wat denken zij over het
verband tussen Het Goede en de wiskunde, en wat denken ze dat het
goede van de wiskunde zelf is? (G.H. Hardy [14] probeert het goede
van de wiskunde en het goede van de wiskunde in relatie tot
zichzelf, naar waarde te schatten. Maar hij doet zijn uiterste best
om mystieke wegen te vermijden. Dit geeft de tegenstelling aan
tussen mystieke en niet mystieke waarde-bepalingen)
Laten we de historische
wiskunde, de wiskunde zoals die nu bestaat en standaard beoefend
wordt, H-wiskunde noemen. We kunnen spreken over het goede van de
goedheid van hamers, die we zomaar in onze gereedschapskist kunnen
vinden. Maar voor dat goede zou die hamer wel eens niet de best
mogelijke kunnen zijn. Op dezelfde manier zou het best eens kunnen
zijn, dat het goede van de wiskunde niet optimaal, door welke
H-wiskunde dan ook, gediend wordt. Dat wil zeggen, dat de wiskunde
op z’n best (aangenomen wat het goede van de wiskunde is),
best anders zou kunnen zijn dan de H-wiskunde.
Brouwer’s
intuitionistische wiskunde wordt vaak opgevat als niet meer dan een
epistemologische of semantische aangelegenheid. Maar het kan beter
opgevat worden als een hervorming van de H-wiskunde in de richting
van een beter dienstig zijn aan het goede van de wiskunde. Brouwer
heeft geprobeerd een wiskunde te realiseren, die tegelijkertijd een
schepping van de vrije wil is, ter wille van de meest volledige,
meest vrije en meest concrete uitvoering van de wil. Onze wil en
innerlijke tijd bestaan gelijktijdig en de innerlijke tijd is, waar
de wil de causaliteit ontmoet. Het uiteindelijk beheersen van het
structureren van de tijd, is de meest zuiver mogelijke
voorbereiding voor de wil om zich in de causaliteit te oefenen,
door middel van die tijdelijke structuren, die de structuren van de
intuitionistische wiskunde zijn. Zo voorgesteld is het goede van de
wiskunde, dat het onze wil naar macht vergemakkelijkt.
Der Wille zur Macht, is een
cultureel artefact, uit angst geboren. Geen enkel klein kind kent
een zucht naar macht, heeft geen enkele behoefte naar macht, maar
kan de macht en manipulaties van de opvoeders alleen overleven, als
daartegen in verzet komt. In dit door de mensen zelf
gecreëerde sadomasochistisch universum is het basisprincipe de
macht van de ene over de
andere mens. Elke relatie tussen mensen is
gebaseerd op macht en manipulatie, maar dat zei Prediker (8:9)
al.
Brouwer’s programma
laat zien hoe een bepaald begrip van het goede van de wiskunde een
revisionaire uitwerking op de wiskundige praktijk kan hebben.
Brouwer’s bedoeling was
niet om de wiskunde te herzien, maar zijn uiteindelijke doel was de
wiskunde af te schaffen. Hij wilde laten zien dat de basis van de
wiskunde niet deugt en dat het dus een op drijfzand gebouwd huis is
oftewel "de man is niet wijs, die zijn huis bouwt op het ijs." In
het sprookje van "De Sneeuwkoningin" gaat het dan ook over het "het
ijsspel van het verstand": Midden in de lege, oneindig grote
sneeuwzaal lag een bevroren meer. Het was in duizenden stukken
gebarsten maar ieder stuk was zo precies gelijk aan het andere dat
het geheel een echt kunstwerk vormde. Wanneer ze thuis was, zat de
sneeuwkoningin er middenop en dan zei ze dat ze zetelde op de
spiegel van het verstand, en dat was volgens haar het kostbaarste
voorwerp in deze wereld. Kleine Kay was helemaal blauw van de kou,
ja, bijna zwart, maar hij merkte het toch niet, want de
sneeuwkoningin had immers de koude rillingen van hem weggekust en
zijn hart was nagenoeg een ijsklomp. Hij liep te slepen met enkele
scherpe, platte ijsbrokken, die hij op alle mogelijke manieren
poogde tegen elkaar aan te passen, want hij wilde er iets van
maken. Het was net als wanneer andere kinderen met houten blokjes
spelen en die in figuren leggen. Kay was ook bezig met het leggen
van figuren, de allerkunstigste, en hij noemde het spelletje:
het ijsspel van het verstand. In zijn ogen waren de figuren
heel bijzonder en hoogst gewichtig. Dat kwam door de glassplinter
die hij in het oog had! Hij legde hele figuren die samen een
geschreven woord vormden, maar nooit kon hij de juiste
samenstelling vinden van het woord dat hij maken wilde. Het moest
het woord: ‘eeuwigheid’ worden, en de
sneeuwkoningin had gezegd: ‘Wanneer je voor mij de
samenstelling van deze figuur kunt vinden, ben jij je eigen baas
en dan schenk ik je de hele wereld en een paar nieuwe schaatsen
erbij.’
Bedenk ook dat we over het
goede van iets kunnen spreken zonder dat dat goede uiteindelijk
gunstig voor ons uitpakt, en op die manier geen deel van Het Goede
is.
Zo kun je ook eindeloos over
"God", "de Werkelijkheid", "Het Absolute", eerlijkheid of een
rechtvaardige wereld praten, zonder dat het je ook maar iets
oplevert, maar ergens over praten is iets heel anders dan er naar
leven.
Dit is de manier waarop
Brouwer over het goede van de wiskunde spreekt. Het vergemakkelijkt
onze wil naar macht, maar helpt daardoor mee aan het verergeren van
onze Gevallen Toestand, en in die zin is het een kwaad. Het goede
van de wiskunde valt niet samen met welk absoluut goede dan ook.
Zoals Brouwer in zijn aantekeningen al opmerkte, ‘dat de
wiskunde en de toepassingen ervan zondig zijn, volgt uit de
intuitie van tijd, dat direct als zondig gevoeld wordt.’ [8,
p. 83]. Wat Brouwer bedoelt is, dat het de beweging van de tijd is,
die naar de weg leidt, die uit het diepste thuis wegvoert; alles
dat je ervan weerhoudt daarnaar terug te keren wordt als
‘zondig’ aangeduid. Desondanks erkende Brouwer een meer
intrinsieke, maar beperkte of voorwaardelijke goedheid in delen van
de wiskunde.
Brouwer heeft, wat hij
eigenlijk wilde zeggen, opgeschreven in zijn Delftse Lezingen en
geen jaar daarna treedt hij in het huwelijk, wat flagrant in
tegenstrijd is met wat hij over de vrouw en relaties schrijft.
Misschien heeft hij gedacht aan wat Socrates zelf ervaren had:
"Trouw in ieder geval. trouw je een goede vrouw dan wordt je
gelukkig, trouw je een slechte vrouw, dan wordt je filosoof" of
wat Sufi-mysticus (!) Rumi zei over het huwelijk: "Door te
trouwen en de tirannie van de vrouwen te verdragen en naar hun
irreële uiteenzettingen en aanvallen te luisteren kan men zich
louteren. Door de tirannie van anderen te verdragen, laat u hen
zelf hun eigen fouten dragen. Uw karakter verbetert door uw geduld
maar hun karakter verergert door hun tirannie en agressie. Wanneer
u dit eenmaal begrepen heeft, louter dan uzelf en beschouw hen als
een kledingstuk. Door dit kledingstuk wordt u van uw bezoedelingen
bevrijd en u wordt gelouterd. En wanneer u geen weerstand kunt
bieden aan de begeerten van uw ziel, overleg dan bij uzelf op een
rationele manier; veronderstel dat uw vrouw niet uw echtgenote is
maar een hoer. Iedere keer dat de begeerte in u opkomt gaat u naar
haar toe. Op deze manier bevrijdt u zichzelf van jaloezie,
partijdigheid en fanatisme. Totdat u zonder dergelijke
uitleggingen, vreugde vindt in het geduld en de inspanningen; dat
hun ondragelijke eisen u innerlijke ervaringen laten opdoen. Om
zichzelf te bevrijden van jaloezie en mannelijke trots moet men
lijden, moet men de buitensporigheden van zijn vrouw verdragen en
duizenden andere grenzeloze moeilijkheden. De weg die Jezus aangaf
was om te worstelen met de eenzaamheid en afstand te doen van alle
begeerten. De weg van Mohammed is het verdragen van de tirannie, de
lasten van de vrouw en van de wereld. Wanneer u deze weg niet kan
gaan, ga dan tenminste die van Jezus, opdat u niet van alles
verstoken zult zijn (Fihi Ma Fihi, hfdst. 5)" Er moest
vervolgens brood op de plank komen en hoewel hij het Paard van
Troje in de wiskunde wilde zijn, is hij dat, omdat hij zijn
mystieke inzicht verloochend heeft, nooit kunnen zijn. Bovendien
was hij ijdel en "ijdelheid misleidt" en heeft hij zijn verdere
leven op twee paarden gereden en Plato (Phaedrus 246-257) heeft al
verhaald hoe moeizaam het is om twee paarden te mennen en die
andere Mysticus wees erop dat je geen twee heren kunt dienen (Lucas
16:13).
Hij zegt bijvoorbeeld over de
klassieke logica,
Gelukkig ontleent de
klassieke algebra van de logica zijn verdiensten volledig
gescheiden van de vraag van zijn toepasbaarheid voor de wiskunde.
Het heeft niet slechts, als een formeel beeld van de techniek van
nuchter denken, een hoge graad van perfectie bereikt, maar ook op
zichzelf, als een gedachtebouwwerk, is het iets van een
uitzonderlijke harmonie en schoonheid. Zijn opvolger, de weelderige
symbolische logica van de twintigste eeuw, die op dit moment
doorlopend de meest boeiende problemen oproept en de meest
verrassende en indringende ontdekkingen doet, wordt inderdaad op
dezelfde manier, grotendeels ter wille van zichzelf, beoefend.
[6, p. 116]
In "Leven, Kunst en Mystiek"
verhaalt Brouwer uitputtelend hoe, wat oorspronkelijk middel was,
doel geworden. Hij noemt dat daar de eeuwige
"doel-middel-tuimeling". Zo is in deze wereld de hulpverlening, de
geneeskunde, de religie, en dus ook de wiskunde, van middel tot
doel geworden. "Hij was zijn hele leven wiskundige (etc.), hij is
nooit mens geworden".
Een overigens verhevener
schoonheid is diegene, die men in de intuitionistische wiskunde
aantreft:
Maar de meest volledige
constructieve schoonheid is de introspectieve schoonheid van de
wiskunde, waar […] men de basale intuitie zich vrij
laat ontplooien. Deze ontplooiing is niet aan de buitenwereld
gebonden en daardoor niet aan eindigheid en verantwoordelijkheid;
dientengevolge kunnen de introspectieve harmonieën ervan elke
graad van rijkdom en helderheid bereiken. [5, p.1239]
Maar noch de klassieke, noch
de intuitionistische wiskunde heeft deel aan de ultieme of meest
verheven schoonheid. Het zou het beste zijn van de logica en de
wiskunde afstand te doen, teneinde naar het diepste thuis terug te
keren: ‘In wijsheid bestaat geen logica’ [3]
[vert. CW 110].
Voor Brouwer wordt de waarde van het filosofische
onderzoek van de wiskunde aangetoond, doordat het het verband
tussen het goede van de intuitionistische en de klassieke wiskunde,
en tussen het goede van de wiskunde en Het Goede, aan het licht
brengt. ‘Onderzoek naar de grondslagen van de wiskunde is een
inwendig onderzoek met onthullende en bevrijdende gevolgen, ook in
niet-wiskundige domeinen van het denken’ [5, p.
1249].
Aan de andere kant hebben we
gezien, dat voor Gödel het goede van de wiskunde onderdeel van
Het Goede is. Dit staat hem toe verwachtingen van Het Goede te
vormen, als projecties vanuit wiskundige kennis: Inderdaad slechts verwachtingen en een besef dat het bij die
verwachtingen zal blijven.
Men gebruikt inductief
bewijs. Het is verrassend dat we, in sommige delen van de wiskunde,
volledige ontwikkelingen krijgen (zoals menig werk door Gauss in de
getaltheorie). Wiskunde heeft
een vorm van volmaaktheid.
In de wiskunde bereikt men
eens voor al kennis. We mogen verwachten, dat de abstracte wereld
volmaakt is en bovendien dat de objectieve werkelijkheid prachtig,
goed en volmaakt is. [22, p. 316]
Zo’n inductie was voor
Brouwer onacceptabel omdat hij besefte dat het onmogelijk
is. Wiskunde is menselijk
broddelwerk en dus allesbehalve volmaakt.
Bij Brouwer is wiskunde
derhalve een wilshandeling, terwijl bij Gödel wiskunde
beschouwing is. Vandaar Brouwer’s ongeïnteresseerdheid
in theoretische waarden in de wiskunde (waarden die beschouwende
kennis, begrijpen, bevorderen), en vandaar Gödel’s
obsessie met de theoretische (beschouwende) vorm van wiskunde. (Dit
onderscheid tussen wiskundige visies, opgehangen aan beschouwing en
wil heeft, tussen twee haakjes, ook betrekking op de oude kwestie
of wiskunde een ‘kunst’ of een ‘wetenschap’
is. Het eerste correleert wiskunde met werkzaamheden,
verrichtingen, beheerste wilsuitingen en uitgekiend vakkundige
handelingen; de laatste correleert wiskunde met betoog, bewijs,
zien en inzichtsvol begrijpen). Het contrast tussen de twee
stellingnamen wordt goed geïllustreerd door het volgende
citaat van Brouwer,
Strikt gesproken is de
constructie van de intuitieve wiskunde op zichzelf, een handeling
en geen wetenschap; het wordt pas een wetenschap […] in een
wiskunde van de tweede orde, die bestaat uit de wiskundige
beschouwing van de wiskunde of van de wiskundige taal [2, p. 99]
[vert. CW p. 61; oorspronkelijk accentuering)
Met andere woorden: een spel
met behulp van het spel, nadenken over het nadenken, een
constructie met behulp van een constructie verhelderen, wat
uiteindelijk alleen maar in eindeloze cirkelredeneringen, een ring
van Möbius, kan resulteren.
vergelijkbaar met
Plato’s uitspraak in de Republiek, 527a6-b1,
Zij [d.w.z. de
meetkundigen] spreken op een wijze die belachelijk en dwingend is;
want ze spreken alsmaar over kwadrateren en optellen, alsof ze iets
doen en al hun stellingen ontwikkelen ter wille van de handeling;
maar in feite wordt het hele onderwerp nagejaagd ter wille van het
begrijpen.
Brouwer ziet het goede van de
wiskunde in het vermogen om het handelen van de wil in de
‘wereld’ te vergemakkelijken, maar alleen maar op grond
van zijn opvatting van de wereld, als iets dat wij geconstrueerd
hebben uit georganiseerde gewaarwordingen, onthult zijn wiskunde,
"door geen voorstelling begrensde’ wereld, en op een hoger
niveau, een stap hoger, de vrije wil en de macht daarvan over alle
vooronderstelde logische apriori.
Er zijn volgens Brouwer dus
twee werelden: de eerste en oorspronkelijke is "De Werkelijkheid"
(alles wat is), de tweede is "De Werkelijkheid", gezien door het
zelfgeconstrueerde wereldbeeld heen, de aanschouwingswereld zoals
hij dat noemt, het idee van de Werkelijkheid, wat de in tijd
gevangen mens heeft. Het is de in dingen versplinterde
werkelijkheid, die hij kunstmatig uit de alomvattende samenhang
afscheidt en benoemt. Hij ziet niet het geheel, maar bomen, mensen,
gebouwen, wolken, en duizenden andere verdingde "onderdelen" van
het geheel. Hij ziet door de bomen het bos niet meer. Alleen in
zijn verdingde wereld kan hij wiskunde bedrijven, maar het geheel
is meer dan de som der delen. Met behulp van die wiskunde
vervolgens pogen van die delen weer één geheel te
maken, is te vergelijken met de vruchteloze poging om een mens in
onderdelen te ontleden en er vervolgens weer een mens van proberen
te maken en dan krijg je een monster van Frankenstein. Brouwer
heeft gelijk dat de wiskunde een hulpmiddel is om in de
maatschappij je wil te doen gelden, macht uit te oefenen, anderen
naar je hand te zetten en in te passen in je aanschouwingswereld,
maar de vrijheid van de wil, die hij noemt is wat hij bedoelt met
"Gods Wil", de Wil die de schepping emaneert, die de Werkelijkheid
doet zijn en alle logische apriori als hersenspinsels ontzenuwt,
tenzij hij daarmee bedoelt dat ze samenvallen met, of een ander
woord zijn voor, de universele natuurwetten. Overigens valt het
toekennen van de Wil, waarvan de wereld een wilsuiting is, aan
‘de scheppende kracht’, een spreken over iets wat
onvoorstelbaar, dus onzegbaar is.
Het vrij tot ontplooiing
komen van de wiskunde onderricht ons in de macht van de vrije wil.
Het kan de vooronderstelde logische apriori doen wankelen, en zelfs
die vooronderstelde universele en onmisbare wetten omzeilen.
Brouwer’s verplichting aan Schopenhauer is volledig
duidelijk. [16]. Voor beiden
gaat de Wil aan het Verstand vooraf. In
zijn vrijheid kan de Wil de ‘kinderen van het brein’
vermoorden, hij kan zelfs de wetten van de logica om zeep
helpen.
Op de eerste plaats is
Brouwer een adept van Schopenhauer in zijn opvatting van de vrouw,
‘een ondergeschikt wezen’, …’een soort
tussenstadium tussen kind en man, die als zodanig de eigenlijke
mens is’. Daar is Leven, Kunst en Mystiek van doordrenkt. En
net als Schopenhauer haalt hij de wil en de Wil door elkaar, met
alle consequenties van dien. Hij poneert dat de mens een wilsuiting
van zichzelf is en de wereld een wilsuiting van de zichzelf
willende mens en dat is op z’n minst een bizarre
voorstelling.
Gödel ziet Het Goede van
het bedrijven van wiskunde begripsmatig. Het onthult de macht van
de logisch apriori, en de universaliteit ervan. Het doordringt de
hele Werkelijkheid, en daarom kan de Geest zichzelf daar niet van
bevrijden. Met het oog hierop en in sterk contrast tot Brouwer,
bagatelliseert Gödel de vrijheid van de wil fors, in de
volgende betekenis.
Tegen Rucker zei
hij,
Het zou mogelijk kunnen
zijn om een volledige theorie van het menselijk gedrag op te
stellen, d.w.z. uit de erfelijke en omgevingsgegevens te
voorspellen wat iemand zal doen. Wanneer echter een kwaadwillend
iemand zich in deze theorie zou bekwamen, kan hij op een zodanige
manier handelen, dat hij die ontkent. Vandaar dat ik tot de
conclusie kom dat er zo’n theorie bestaat, maar dat geen
kwaadwillend iemand er iets van zal leren. […] Het a priori
wordt hogelijk verwaarloosd. De logica is zeer machtig. [18, p.181]
Gödel omarmt hier het
Determinisme. Hij gaat dus uit van de nieuwe Predestinatieleer, in
een ander jasje, van erfelijke eigenschappen en onontkoombare
beïnvloeding door de omgeving.
Dit is uiterst onthullend
over de diepte van de Goedheid van de dingen. Het betekent dat,
ofschoon er zelfs in principe diepe vrijheden bestaan, zij aan
iemand die ze voor kwade bedoelingen of onheil zou willen
gebruiken, onthouden worden.
Brouwer en Gödel zouden
het dus met elkaar eens zijn dat Het Goede gezocht moet worden;
maar zij zouden het oneens zijn over de rol die de wiskunde in die
zoektocht zou kunnen spelen.
Gödel gaat er bij wijze
van spreken van uit dat je een vlinder kunt vangen door er met een
net achteraan te hollen. Brouwer heeft begrepen dat als je stil
gaat zitten, de vlinder gewoon op je schouder neerstrijkt.
Gödel denkt dat je met een koevoet de deur moet openmaken,
Brouwer weet dat de deur open is. Gödel vermoedt dat er iets
achter die deur zit, wat hij Het Absolute noemt, Brouwer weet wat
er achter de deur zit, omdat hij het "gezien", ervaren heeft, maar
nooit meer heeft terug kunnen vinden.
4 Een deel-argument tegen de
GKS
Wij stellen dus dat, als je
voldoende sterk gelooft in de stabiliteit van de wiskunde om te
onderkennen, dat ondanks hun verschillen—de verschillen
tussen de klassieke en de intuitionistische wiskunde—,
Gödel en Brouwer het over hetzelfde onderwerp hebben (d.w.z.
de wiskunde), dat hun twee kwesties samen als een tegenwerping
tegen de "gemeenschappelijke kern"-stelling fungeren; voor wat er
resteert voor een gemeenschappelijke kern van waarheden, leidt de
wiskunde je, als het aan Gödel ligt, naar Het Absolute,
terwijl volgens Brouwer, hetzelfde je ervan afleidt?
Er bestaat geen
"gemeenschappelijke kern van waarheden". Er is een Werkelijkheid,
waar niets over gezegd kan worden en dat is waar. Als die Mysticus
zegt (Joh. 8:31): "Gij zult de waarheid verstaan, en de waarheid
zal u vrijmaken", heeft hij het niet over de Werkelijkheid, noch
over "de gemeenschappelijke kern van waarheden", maar over hoe
ongelukkig mensen met elkaar omgaan, dat elke cultuur een
vergissing is, dat mensen doof en blind zijn, dat ze zich zorgen
maken om de dag van morgen, dat ze niet echt leven, maar "slapen"
en "dood" zijn, dat ze wel de splinter in het oog van hun
medemensen zien, maar niet de balk in hun eigen oog. Dat is de
waarheid en die is uiterst onaangenaam.
Wat iemand, volgens
Gödel, toegang geeft tot Het Absolute, ontzegt het, volgens
Brouwer, deze toegang. Maar als beiden de waarheid spreken, wat wij
ter wille van het betoog aannemen, dan moet dit betekenen, dat zij
met Het Goede iets anders bedoelen. Daarom kunnen Brouwer en
Gödel, als zij over Het Goede spreken, niet naar hetzelfde
verwijzen.
Bedenk wel, dat dit betoog
niet aantoont dat de GKS onwaar is; maar, als het juist is, toont
het het volgende aan: zolang wij niet weten dat Gödel’s
of Brouwer’s standpunt onwaar is, is er geen bewijsgrond voor
de GKS. Uit het voorgaande volgt dat het
standpunt van Gödel onjuist is.
We blijven er dus bij, dat
een bewijs voor de GKS zou moeten aantonen, dat de standpunten van
Gödel en Brouwer niet beide waar kunnen zijn. Dat vaststellen,
zou in feite een sterkere conclusie betekenen dan die van ons, die
dat wel impliceert, maar er niet door geïmpliceerd wordt. Het
lijkt echter veel eenvoudiger een zodanig verschil in
benaderingswijze aan te duiden, dat het de overeenkomst, waar het
naar verwijst, uitsluit, dan rechtstreeks de waarheid of onwaarheid
van die mystieke standpunten vast te stellen.
Wij proberen dus iets over de
GKS te zeggen, onder vermijding van het maken van leerstellige
opmerkingen over hoe Het Absolute echt is. Wij laten dat achterwege
(ten koste van het onvermogen iets rechtstreeks over de waarheid
van de GKS te zeggen) en concentreren ons op manieren om toegang
tot Het Absolute te verkrijgen. Gezien het feit dat er in de
geschiedenis veel, zowel leerstellige als methodologische
meningsverschillen zijn geweest, zien wij geen redden waarom in het
algemeen een argument voor een manier van toegang, voedzamer zou
zijn dan een leerstellig argument. Het verband tussen alternatieve
(zogenaamde) methoden is wellicht zo onduidelijk of onnauwkeurig,
dat het geen bewijsgrond oplevert. Wat de kwestie
Gödel/Brouwer anders maakt is dat hun specifieke impliciete
meningsverschil over de methode, een formulering als een scherpe
antithese toestaat, en de wiskunde, waar zij het met elkaar niet
over eens zijn, is zelf iets zeer stabiels.
5
Slotopmerkingen
We zouden willen
besluiten met de volgende twee opmerkingen.
Op de eerste plaats kan
iemand, en doet dat gewoonlijk ook, zich met de wiskunde
bezighouden terwille van de wiskunde zelf, zonder enige
belangstelling, of het nou positief of negatief is, voor het in
verband brengen daarvan met de mystiek.
Er is geen relatie tussen het
bedrijven van wiskunde en mystiek, net zomin als er een relatie
bestaat tussen het bedrijven van wiskunde en het leven. Zoals
Wittgenstein in zijn Tractatus Logico-philosophicus terecht opmerkt
(6.52): "Wij voelen dat zelfs, als alle mogelijke
wetenschappelijke vragen beantwoord zijn, onze levensproblemen nog
helemaal niet zijn aangeroerd". Wiskunde bedrijven staat óf
in dienst van de maatschappij, óf het is vrijblijvende en
eindeloze Spielerei, namelijk kastelen bouwen uit onderdelen van
een gefragmenteerde en dus gereduceerde Werkelijkheid, jongleren op
een uit de oneindigheid geplukt eindig vinkentouw, in de illusie
dat het ooit iets zinnigs zou kunnen zeggen over de Werkelijkheid,
oneindigheid, eeuwigheid, volmaaktheid, alles en niets. En dat is
nou net wat al die stamelende mystici proberen te zeggen.
Wezenlijk is er geen verschil tussen het
scholastieke gespeculeer over hoeveel engelen er op de punt van een
naald kunnen dansen en het gespeculeer over de bewijsbaarheid van
de Riemann-hypothese.
Vanuit het standpunt van
Gödel en Brouwer zou dat waarschijnlijk lijken op het ten
uitvoer brengen van een hymne terwille van de hymne zelf, zonder
enige belangstelling voor de religieuze bedoeling, die het zou
kunnen hebben.
De tweede opmerking staat in
verband met de eerste. Ondanks de onevenredigheid van de
standpunten van Brouwer en Gödel, hebben hun respectievelijke
drijfveren om de mystieke ommekeer te maken, veel gemeen. Beiden
waren ontevreden over de materialistische en formalistische
filosofieën, die in hun tijd vigeerden; beiden waren van
mening, dat die filosofieën aan Het Goede geen recht
deden.
Litteratuur
[1] L.E.J. Brouwer. Leven,
kunst en mystiek. J. Waltman
Jr., Delft, 1905. English translation in Notre Dame Journal of
Formal Logic, 37(3):381–429, 1996.
[2] L.E.J. Brouwer. Over de
grondslagen der wiskunde. PhD thesis, Universiteit van Amsterdam,
1907. English translation in
[7].
[3] L.E.J.
Brouwer. De onbetrouwbaarheid der logische
principes. Tijdschrift voor Wijsbegeerte, 2:152–158, 1908.
English translation in [7].
[4] L.E.J. Brouwer.
Mathematik, Wissenschaft und Sprache. Monatshefte für
Mathematik und Physik,
36:153–164, 1929. Also in [7].
[5] L.E.J.
Brouwer. Consciousness, philosophy and mathematics. Proceedings of
the 10th International Congress of Philosophy, Amsterdam 1948,
3:1235–1249, 1948. Also in [7].
[6] L.E.J.
Brouwer. The effect of intuitionism on classical algebra of logic.
Proceedings of the Royal Irish Academy, 57:113–116, 1955.
Also in [7].
[7] L.E.J.
Brouwer. Collected works I. Philosophy and Foundations of
Mathematics (ed. A. Heyting). North-Holland, Amsterdam,
1975.
[8] D. van
Dalen. Mystic, geometer, and intuitionist. The life of L.E.J.
Brouwer. 1: The dawning revolution. Clarendon Press, Oxford,
1999.
[9] D. van Dalen. L.E.J.
Brouwer 1881–1966. Een biografie. Het heldere licht van de
wiskunde. Bert Bakker, Amsterdam, 2001.
[10] J.W. Dawson, Jr.
Logical dilemmas. The life and work
of Kurt Gödel. A K Peters, Wellesley, 1997.
[11] W. Ewald.
From Kant to Hilbert. Readings in the foundations of mathematics.
Oxford University Press, Oxford, 1996.
[12] K.
Gödel. What is Cantor’s continuum problem? In P.
Benacerraf and H. Putnam, editors, Philosophy of mathematics:
selected readings. (2nd ed.), pages 470–485.
Cambridge University Press, Cambridge, 1983. Also [13],
pp.254–270.
[13] K.
Gödel. Collected Works. II. Publications 1938–1974 (ed.
S. Feferman et al.). Oxford University Press, Oxford,
1990.
[14] G.H. Hardy.
A mathematician’s apology. Cambridge University Press,
Cambridge, 1940.
[15] D. Hilbert.
Axiomatisches Denken. Mathematische Annalen,
78:405–415, 1918.
English translation in [11].
[16] T.
Koetsier. Arthur Schopenhauer and L.E.J. Brouwer, a comparison. In
Combined Proceedings for the Sixth and Seventh Midwest History of
Mathematics Conferences, pages 272–290. Department of
Mathematics, University of Wisconsin-La Crosse, La Crosse,
1998.
[17] S. Rosen.
The limits of analysis. Basic Books, New York, 1980. Reprint St.
Augustine’s Press, South Bend, 2000.
[18] R. Rucker.
Infinity and the mind. Birkhäuser,
Basel, 1983.
[19] W.P. van Stigt.
Brouwer’s intuitionism. North-Holland, Amsterdam,
1990.
[20] W.P. van Stigt.
Introduction to ‘Life, art and
mysticism’. Notre Dame Journal of Formal Logic,
37(3):381–387, 1996.
[21] H. Wang.
Reflections on Kurt Gödel. MIT Press, Cambridge, MA,
1988.
[22] H. Wang. A
logical journey. From Gödel to philosophy. MIT Press, Cambridge, MA, 1996.
Naar boven
|